Valor medio y valor eficaz de una función

Félix Redondo Quintela y Roberto C. Redondo Melchor.
Universidad de Salamanca
20 de mayo de 2007; modificado el 22 de mayo de 2007.

En Electricidad se utilizan con frecuencia valores medios y eficaces de funciones. En este comentario nos ocupamos de ellos.

Valor medio de una función

Figura 1

El área rayada A de la figura 1 es

La altura del rectángulo que tiene de base b-a y de área A se llama valor medio de la función y o de la función f(x) en el intervalo (a,b). Es decir,

Esta es la definición de valor medio de una función y=f(x) en el intervalo (a,b). O sea,

Si se halla la integral de la función entre d y e, el resultado es el área A', pero negativa. Es decir, el valor medio

es negativo.

Figura 2

La integral de la función entre a y e es la diferencia entre las áreas A₁ y A₂ de la figura 2. Es decir

• Si A₁>A₂ la integral es positiva, y también, por tanto, el valor medio resulta positivo.
  
• Si A₁<A₂, la integral y, por tanto, el valor medio son negativos.
• Si A₁=A₂, la integral y el valor medio son cero.

En cualquier caso, la diferencia entre las áreas de la parte superior al eje x y de la parte inferior se puede obtener con el valor medio despejando la integral así:

El valor medio de una función se llama en inglés average value.

Valor eficaz de una función

En matemáticas suele llamarse valor medio cuadrático. El nombre de valor eficaz se utiliza casi exclusivamente en Electricidad. En inglés se llama root-mean-square, que suele designarse con su acrónimo rms, y en Electricidad se llama también effective value.

El valor eficaz Y_ab de una función y=f(x) en el intervalo (a,b) es el valor positivo de la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de esa función en ese intervalo, es decir

El valor eficaz siempre es, por tanto, un número real positivo. El valor eficaz se utiliza mucho en Electricidad, principalmente porque valores eficaces de tensiones e intensidades aparecen de manera natural en las fórmulas de los valores medios de potencias. Por ejemplo, la potencia que absorbe la resistencia R si su tensión es v y su intensidad i es . El valor medio de esa potencia en el intervalo de tiempo (t₁,t₂) es

donde I es el valor eficaz de la intensidad i.

También

V es el valor eficaz de la tensión v.

Valores medio y medio cuadrático de conjuntos finitos de números

Se llama valor medio del conjunto de n números {a₁,a₂,...,a_n} a

Se llama valor medio cuadrático del conjunto de n números {a₁,a₂,...,a_n} a la solución positiva de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los números dividida por n:

Para más información sobre los valores medio y eficaz y aplicaciones ver:

• Redes eléctricas de Kirchhoff, 2ª edición