Curiosidades con potencias de 2

Félix Redondo Quintela y Roberto C. Redondo Melchor.
Universidad de Salamanca.
6 de junio de 2007; modificado el 15 de junio de 2007.

Lo primos que somos

GeneraciónAntepasadosVivieron hace...
120 años
2425 años
3850 años
41675 años
532100 años
664125 años
7128150 años
8256175 años
9512200 años
101024225 años
112048250 años
124096275 años
138192300 años
1416384325 años
1532768350 años
1665536375 años
17131072400 años
18262144425 años
19524288450 años
201048576475 años
2533554432600 años
301073741824725 años
3534359738368850 años
401099511627776975 años
45351843720888321100 años
5011258999068426241225 años

Los humanos somos más primos de lo que creemos. (El lector puede sonreír, pero aquí nos referimos al parentesco). En efecto, cada uno de nosotros tiene dos padres, que son sus antepasados más próximos, los de la primera generación hacia atrás: G1=21=2. Cada uno de nuestros padres tiene otros dos padres, que son nuestros abuelos. Por eso cada uno de nosotros tiene cuatro abuelos, que son nuestra segunda generación de antepasados: G2=2x2=22=4. Cada uno de nuestros abuelos tiene dos padres, que son nuestros bisabuelos, la tercera generación de antepasados: G3=4x2=G2x2=23=8. Y así sucesivamente. Por tanto, nuestra quinta generación consta de G5=25=32 antepasados. Es decir, 32 personas de las que vivían hace cien años o poco más, han sido antepasados nuestros, todas con la misma probabilidad de influencia en nuestros genes. La décima generación de nuestros antepasados está formada por G10=210=1 024 personas. Pensemos en un pueblo de los de España de hace cincuenta años, en los que la gente a penas salía de él, y se casaban entre ellos. Si hace doscientos años tenía, pongamos, trescientos o cuatrocientos habitantes, significa que casi todos forman parte de la octava o novena generación de los antepasados de un nacido en ese pueblo, pues G8=28=256 y G9=29=512. Y esta octava o novena generación hacia atrás es de hace menos de doscientos años. Por eso es casi seguro que todas las familias afincadas en un pueblo desde antiguo están emparentadas. El número de nuestros antepasados de la decimotercera generación, que vivió hace menos de trescientos años, es G13=213=8 192. Un número seguramente mayor que la población de ciudades como Soria, Béjar, Zamora, Alcoy, Tarrasa o Plasencia entonces. Eso significa que la mayor parte de los habitantes de esas ciudades de hace poco más de doscientos cincuenta años son, con mucha probabilidad, antepasados de cualquiera de los actuales afincados en ellas desde hace tiempo. Lo mismo puede decirse de los salmantinos, de los segovianos o de los pamploneses: es muy probable que cualquier habitante de esas ciudades de hace trescientos o cuatrocientos años sea antepasado suyo, pues por entonces vivía la decimoquinta generación de sus antepasados, constituida por G15=215=32 768 personas, número superior al de habitantes de estas ciudades entonces y de muchas otras más. Nuestra vigésima generación de antepasados vivió hace cuatrocientos o quinientos años, y está formada por G20=220=1 048 576, más de un millón de personas. La generación vigésima quinta vivió hace quinientos o seiscientos años, y consta de G25=225=33 554 432, más de treinta y tres millones de personas, muchas más que la población de España entonces. Eso significa que no está nada descaminado cualquiera que diga que puede descender de Isabel y Fernando y de Carlos I. Aunque seguro que la mayoría lo tomaría por tonto.

Si se asignan veinticinco años a cada generación, cien años son cuatro generaciones, y setecientos cincuenta años treinta generaciones. Es decir, nuestros antepasados de la generación trigésima vivieron aproximadamente en el año mil doscientos cincuenta, y el número de ellos es G30=230=1 073 741 824, más de mil millones, una cantidad superior a la de habitantes de la tierra entonces. Eso significa que, entre los antepasados de cada uno de nosotros hay necesariamente múltiples cruces, que muchos son antepasados nuestros por varios caminos. Si no existieran estos cruces, nuestra generación cuadragésima, que vivió hacia el año mil constaría de G40=240=1 099 511 627 776 personas, más de un billón de personas. En la tierra no hemos sido nunca tantos. O sea, los cruces entre descendientes han sido mucho más numerosos de lo que podemos imaginar. Pero es sobre todo evidente que somos todos más parientes de lo que creemos. En Europa y en los pueblos del Mediterráneo, donde el movimiento de personas ha sido siempre intenso, todos somos iberos, celtas, cartagineses, griegos, romanos, visigodos, unos y otros. Sólo el aislamiento, la incomunicación entre algunas partes del mundo, ha dificultado algo hasta ahora que todos seamos hermanos, pero no que seamos primos.

Los granos de trigo del ajedrez

La curiosidad más conocida de las relacionadas con las potencias de 2 es la leyenda del inventor del ajedrez y el rey al que se lo presentó. Como muchas otras leyendas, esta, sin duda, tiene poco o nada de verdad en lo que se refiere a las personas, los lugares y las épocas que se citan; entre otras cosas, porque cada cual la cuenta con diferentes nombres, reyes, países y épocas. Pero el resultado numérico del cuento no ofrece dudas.

Si vamos a lo esencial del relato, resulta que el rey que fuera se entusiasmó con el juego del ajedrez, y le dijo al que se lo presentó, que pudo ser el inventor o uno que se adueñó del invento, que le daría lo que quisiera. Muy matemático o muy astuto, el inventor o el que fuera, le dijo que le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez; el doble, o sea, 2=21 por la segunda; el doble de granos de la segunda por la tercera, o sea 4=22; y así por cada casilla: el doble de granos que por la anterior. En general pues, por la casilla n le debería dar 2n-1 granos. Y así hasta la casilla 64, que es el número de casillas que tiene un tablero de ajedrez, ocho en cada lado. Lo que le pedía era que echara la cuenta y le diera la suma de todos esos granos de trigo. El rey, o lo que fuera, se asombró de que le pidiera tan poca cosa, y ordenó que se le entregaran esos granos de trigo. Y echaron la cuenta. La suma de los granos de trigo de las casillas es

S=20+21+22+...+264-1

Es decir, la suma de los 64 términos de una progresión geométrica de razón 2 y cuyo primer término es 1. La fórmula general de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es, como se sabe, donde a1 es el término primero, en nuestro caso, por tanto, a1=1; an es el término hasta el que se hace la suma, en nuestro caso an=a64=264-1=263; y r es la razón de la progresión, en nuestro caso, r=2. Por tanto, si se sustituye en la fórmula, resulta: El número de granos parece muy grande, pero no son más que granos. Vamos a tratar de averiguar cuántas toneladas son esos granos, al menos aproximadamente. Para ello deberíamos averiguar la masa de un grano de trigo. Es fácil medirla. Basta contar, pongamos diez granos, pesarlos, y dividir la masa por diez. Si en vez de pesar diez granos, se pesan veinte y se divide el resultado por veinte, se comete menos error. Nosotros no vamos a hacer una cosa ni otra, porque cuando escribimos este artículo no tenemos trigo. Pero, para darnos una idea de la masa de todos esos granos de trigo, no hace falta, lo haremos aproximadamente. Esto se hace mucho cuando se trata de averiguar algo, también en la ciencia: tratar de obtener información solo para hacerse una idea del asunto. Luego ya se podrán confirmar los resultados y afinar si es necesario.

Vayamos al cálculo. Pongamos, por ejemplo, que cada grano tiene una masa de un miligramo. No tenemos ni idea ahora si esta cantidad es muy aproximada o no. Creemos que un grano de trigo debe tener más masa, pues si es un miligramo, significa que en un gramo hay mil granos, y un millón en un kilogramo. Parecen muchos. Pero así nos quedaríamos cortos en el número de toneladas. Mejor para estar más seguros. Por tanto, si se divide el número de granos por un millón, es decir, por 106, que son los que habría en un quilogramo, se obtiene el número de quilos. Si se divide por 109, se obtiene el número de toneladas. Es decir, el número de toneladas de esos granos es O sea, de forma más comprensible, 18.45x109 toneladas. La producción mundial de trigo cada año es inferior a seiscientos millones de toneladas, o sea 600x106 t. La relación de la cantidad anterior con esta es

Significa que, con la producción mundial actual, se tardaría más de treinta años en cosechar el número de granos del ajedrez.

Moraleja: ten cuidado con el primer golpe de vista cuando de números se trate. Espera a echar la cuenta.

Por cierto, los cuadros del ajedrez se llaman escaques.