Concepto de axioma

Félix Redondo Quintela*, Roberto C. Redondo Melchor* y M. Margarita Redondo Melchor**.
* Universidad de Salamanca. ** WSP Group.
27 de marzo de 2009

La palabra ‘axioma’ viene de la palabra latina ‘axioma’, y esta de la griega αξιωμα, que significa “lo que parece justo”.

El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos ‘forma científica de conocer’ o ‘adquisición de conocimiento científico’. Del análisis de esta forma de conocer se ocupa la ‘epistemología’.

El concepto de ‘axioma’ no ha permanecido invariable a lo largo de la historia, sino que se ha ido modificando como consecuencia de nuestra mayor comprensión de las posibilidades de conocer y del alcance del propio conocimiento científico.

Comentamos aquí diferentes significados que se han dado y se dan a la palabra ‘axioma’.

Una definición de ‘axioma’ aceptada hoy es ‘cada una de las proposiciones compatibles entre sí a partir de las cuales se construye una teoría’.

Los teoremas son proposiciones que se deducen de los axiomas según la lógica formal. También se llaman teoremas las proposiciones deducidas de otros teoremas previamente deducidos de los axiomas. El proceso de deducción de un teorema a partir de los axiomas o de otros teoremas se llama demostración. Las demostraciones de los teoremas requieren, por lo general, definir nuevos conceptos. El conjunto de los axiomas, los teoremas deducidos de ellos o de otros teoremas ya demostrados, y las definiciones de los nuevos conceptos se llama teoría. Es decir, realmente toda teoría está contenida en sus axiomas, por lo que la construcción de una teoría consiste en la búsqueda de las proposiciones que se deducen de los axiomas. Nótese que de los axiomas no se exige que sean verdaderos, o sea, no se exige que se refieran a ningún objeto natural o real, no se exige que ‘ocurran’ en el Universo, lo que es indiferente para la construcción de la teoría. Para que una teoría pueda ser construida solo es imprescindible que los axiomas no sean contradictorios entre sí. Eso es lo que se quiere decir cuando se exige que sean compatibles. Si, además, lo que afirman o niegan los axiomas lo cumple algún objeto de la naturaleza, la teoría, lo que se deduce de los axiomas, también lo cumplen esos objetos naturales. Pero, desde el punto de vista de las teorías axiomáticas, no importa si los axiomas se refieren a objetos reales o no. La elaboración de la teoría es independiente de ello, pues es el conjunto de consecuencias deducidas de los axiomas.

También puede considerarse que los axiomas definen el objeto o los objetos a que se refieren. Así, la ley de Coulomb define las cargas eléctricas puntuales, pues las caracteriza totalmente, es decir, contiene toda la información necesaria para saber si un objeto real o imaginario es o no una carga eléctrica puntual: si cumple la ley de Coulomb lo es; si no la cumple no es una carga eléctrica puntual. La Electrostática sería el conjunto de propiedades de las cargas eléctricas puntuales en reposo, y la ley de Coulomb su único axioma. Actualmente creemos que la ley de Coulomb es verdadera en el sentido de que, en efecto, la fuerza con que se atraen o se repelen dos cargas puntuales es la dada por la ley de Coulomb. Pero, si en algún momento se comprobara que no se cumple exactamente, sino que, por ejemplo, las fuerzas fueran inversamente proporcionales a la distancia entre las cargas elevada a una potencia distinta de dos, la teoría actual seguiría siendo correcta en el sentido de que seguiría cumpliéndose para la ley de Coulomb actual. Para la nueva ley habría que crear otra teoría, que sería, eso sí, más útil que la primera, pues sus teoremas podrían servir para explicar la naturaleza.

Los axiomas que se cree que se cumplen en la naturaleza suelen llamarse leyes. Las teorías útiles para explicar el universo son aquellas cuyos axiomas son leyes. Claro que, absolutamente hablando, nunca se sabe con total seguridad si una teoría se cumple en la naturaleza o no, pues no se puede saber con absoluta seguridad si sus axiomas son leyes, es decir, si se cumplen absolutamente o no en la naturaleza. De esto, de que se cumplan o no en la naturaleza, solo podemos estar más o menos seguros. Por eso son necesarios continuos experimentos de comprobación a medida que la técnica nos proporciona métodos de medida más precisos. Por el contrario, sí podemos estar siempre absolutamente seguros de que los teoremas son propiedades de los objetos definidos por los axiomas, pues estas propiedades se deducen de los axiomas según la lógica formal, es decir, son solo consecuencias de lo que dicen los axiomas.

Las leyes naturales se pueden considerar como propiedades de los objetos a que se refieren. De esta manera la teoría que se elabora a partir de ellas sería el conjunto de todas las propiedades de esos objetos y de los nuevos conceptos que se van definiendo para mejor conocerlas. Por ejemplo, la ley de Coulomb es un compendio de propiedades de las cargas eléctricas puntuales, y la Electrostática todas esas propiedades y las de los nuevos conceptos que se definen, como el campo eléctrico, el potencial, etc.

Por todo lo anterior nosotros nos inclinamos por la siguiente acepción: ‘axioma es cada una de las definiciones a partir de las cuales se construye una teoría’. Así, la ley de Coulomb, que es el axioma de la Electrostática, define las cargas puntuales. La definición de “red de Kirchhoff” es el axioma de toda la Teoría de las Redes de Kirchhoff. Esta definición contiene absolutamente toda esa teoría, cuya construcción consiste, precisamente, en ir descubriendo todas las propiedades de las redes de Kirchhoff solo a partir de la definición. Nosotros no encontramos diferencias esenciales entre los axiomas y cualquier otra definición de una teoría; a lo sumo el orden en que se enuncian: los axiomas los primeros y otras definiciones después. Por ejemplo, la ley de Coulomb define las cargas eléctricas puntuales cuyas propiedades cuando están en reposo constituyen la Electrostática; pero, inmediatamente, se define el campo eléctrico, cuyas propiedades se investigan también; a continuación se define el potencial, cuyas propiedades se investigan, y así sucesivamente. Cada definición es, pues, el punto de partida para una teoría parcial.

La definición clásica de ‘axioma’ es “proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración”. Esta acepción es la única que le atribuía el diccionario de la Real Academia Española a la palabra ‘axioma’ en su vigésima primera edición y la primera que le atribuye en su edición actual. Esta es también la acepción tradicional iniciada por Aristóteles y la que parece utilizar Euclides en sus ‘Elementos’. Durante siglos se creyó que, en efecto, había proposiciones evidentes. La existencia de verdades evidentes y, por tanto, de axiomas en ese sentido, comenzó a ser abandonada a comienzo del siglo XX, como consecuencia principalmente de la publicación por Hilbert en 1989 de su ‘Grundlagen der Geometrie’ y por el trabajo de otros autores. Sin embargo, ya en la segunda mitad del siglo XIX, el concepto tradicional de axioma se había puesto en duda con la publicación de las geometrías de Bolyai y Lobatchevski, uno de cuyos axiomas contradecía el de las paralelas de Euclides, por lo que los axiomas no parecían ser las verdades claras y evidentes tradicionales. Aunque sin publicarlos, los trabajos de Gauss, en la primera mitad del siglo XIX, consistían también en geometrías construidas sobre axiomas diferentes de los de Euclides. Con la acepción actual de axioma, estas geometrías son propiedades de otros objetos distintos de los definidos por los axiomas de Euclides.

En el prólogo del libro Redes eléctricas de Kirchhoff se hacen también comentarios sobre el concepto de axioma.