Partir y clasificar

Félix Redondo Quintela y Roberto C. Redondo Melchor.
Universidad de Salamanca.
16 de diciembre de 2009

Nombres comunes y adjetivos, resultados de clasificar

Clasificar objetos es seguramente una de las actividades intelectuales más tempranas del ser humano^[1]. Los nombres comunes y los adjetivos calificativos son consecuencia de la actividad de clasificar. Un nombre común es una palabra que designa un conjunto de objetos que tienen propiedades que los diferencian de otros. Por ejemplo, los objetos que designa la palabra ‘melón’ son fácilmente diferenciables de los objetos que designa la palabra ‘piedra’. Los adjetivos calificativos clasifican objetos ya clasificados por nombres. Por ejemplo, sillas ‘verdes’ designa un subconjunto del conjunto de las sillas.

Los objetos visibles serían los primeros en ser nombrados por nuestros primitivos antepasados. El lenguaje de algunas especies de animales que viven en grupos puede ilustrar sobre la génesis de nuestros nombres comunes y adjetivos calificativos. Los individuos de algunas de estas especies emiten gritos que avisan de la presencia de los animales peligrosos con el fin de alertar al grupo. El grito puede significar ‘¡depredador!’. Pero el lenguaje de algunas especies tiene sonidos de avisos diferentes para los depredadores que provienen del aire o de la tierra. En nuestro idioma esos sonidos podrían significar ‘¡depredador terrestre!’ o ‘¡depredador aéreo!’. Esos gritos de aviso son resultados de clasificaciones que hace el animal de los objetos que observa. Cada día la investigación da a conocer datos sorprendentes de comunicación por sonidos entre individuos de algunas especies de animales. Pero incluso las especies que no emiten sonidos huyen ante la presencia de sus depredadores. También ese comportamiento es consecuencia de una clasificación del resto de los animales, que hace el que huye, en animales peligrosos y no peligrosos, aunque en este caso no lo exprese con sonidos.

Por tanto, decir que la clasificación de objetos es una actividad muy anterior a la actividad científica, a la actividad consciente de adquirir conocimiento, es seguramente quedarse muy corto. Fue, desde luego, una de las actividades más tempranas de la ciencia. Una gran parte del trabajo de Aristóteles consistió precisamente en clasificar objetos, también en clasificar partes del propio conocimiento. Muchas de sus clasificaciones se siguen empleando hoy. Y la ciencia sigue necesitando clasificar como procedimiento de conocer, como parte de la forma científica de adquirir conocimiento.

Este artículo trata de precisar conceptos, más o menos conocidos, relativos a la clasificación tal como se usa en la ciencia.

Partición de un conjunto

Se llama partición P de un conjunto A no vacío a un conjunto de subconjuntos disjuntos no vacíos de A cuya unión es A.

Partición de una tarta: P={A₁, A₂, A₃, A₄, A₅}.

O bien, con símbolos formales, P es una partición del conjunto no vacío A solo si

i es un elemento de un conjunto I. designa la unión de todos los elementos de P. Cada elemento A_i de la partición se llama parte del conjunto A a que da lugar la partición P. Si I es finito y tiene n elementos, n es el número de partes de A a que da lugar la partición P.

El concepto formal de partición definido aquí describe también la acción de partir del lenguaje común, tal como partir una tarta: las partes de la tarta son disjuntas no vacías y su unión es la tarta entera.

Partir un conjunto A es definir una partición en A.

El conjunto N de los números naturales sin el cero se puede partir en impares y pares. El conjunto N₁ de los impares es una parte, y el conjunto N₂ de los pares es otra parte. Si esa partición se designa por P, resulta que P tiene dos elementos: P={N₁, N₂}. Si P₁ designa el conjunto de los números primos de N y P₂ el conjunto de los que no son primos, P={P₁, P₂} es otra partición de N. El conjunto de los seres humanos se puede partir en los que han sido padres, H, los que han sido madres, M, y los que no han sido ni padres ni madres, X. Por tanto, esa partición es P={H, M, X}.

Clasificación

Clasificación es sinónimo de partición, por lo que la definición de clasificación de los elementos de un conjunto es la misma que la de partición de ese conjunto. La reproducimos de nuevo aquí.

Se llama clasificación P de los elementos de un conjunto A no vacío a un conjunto de subconjuntos disjuntos no vacíos de A cuya unión es A.

Como cada partición P de un conjunto A se llama también clasificación, cada elemento A_i de P se llama también ‘clase’. Por tanto, ‘clase’ es sinónimo de ‘parte’.

También el concepto formal de clasificación coincide con la acción de clasificar del lenguaje común.

Nótese que en español hay una ligera diferencia en la forma de emplear las palabras ‘partición’ y ‘clasificación’: se dice “partir un conjunto” o “definir una partición en un conjunto”; pero se prefiere decir “clasificar los elementos de un conjunto”.

Clases vacías

Nuestra definición de partición y de clasificación exige que el conjunto A que se quiere partir sea no vacío. También que cada elemento de una partición de A sea un subconjunto no vacío de A. Esa forma de definir la partición implica que carece de sentido la acción de partir el conjunto vacío y que el conjunto vacío no se considera elemento de una partición. Esas dos limitaciones son convenientes para acercar la definición a la realidad: no se parte una tarta inexistente, y cuando se cuentan las porciones de una tarta tampoco se incluyen partes inexistentes, partes vacías. No obstante, no todos los autores parecen establecer esta limitación. Por ejemplo, Rudolf Carnap dice que una clase de animales puede ser la de los unicornios, aunque sea una clase vacía. Nuestra definición es válida también en este caso si el conjunto A que se parte es el de los animales reales e imaginarios, en cuyo caso no solo el unicornio, sino cualquier otro ente imaginario que llamemos animal es una clase de A. Para definir bien una partición es imprescindible identificar sin ambigüedad el conjuto que se parte.

Subconjuntos y partes de un conjunto

El nombre ‘parte’, designa, como se ha dicho, cada elemento de una partición P de un conjunto A. Pero, a veces, se emplea el nombre ‘parte’ como sinónimo de subconjunto de un conjunto A, y designa entonces cualquier subconjunto de A. Con ese significado se emplea, por ejemplo, en la expresión, ‘conjunto de las partes de A’, que dice lo mismo que ‘conjunto de los subconjuntos de A’. Sin embargo, la palabra ‘clase’ se suele reservar para designar un subconjunto que es elemento de una partición o clasificación especificada previamente o que se sobreentiende. Es menos frecuente emplearla para designar cualquier subconjunto, aunque, de nuevo, Rudolf Carnap también lo hace.

Final

Clasificar un conjunto de objetos es una actividad que ayuda a su conocimiento, pues requiere observar con detalle sus características para agruparlos en clases que faciliten su designación, su conocimiento posterior por otros y el progreso en el conocimiento de los objetos clasificados. A su vez, reflexionar sobre el propio acto de clasificar ayuda a conocer mejor la forma de hacerlo.